[MML] Chap.3 Analytic Geometry

MML 2장에 이어 3장을 공부하고 나서 챕터별로 주관적인 키워드를 정리해보려 합니다. 정말 중요한 내용인데 제가 빼먹고 적지 않았을 수 있습니다.

 

3.1 Norms

  - Absolutely homogeneous, Triangle inequality, Positive definite

  - Manhattan/Euclidean norm

  - Inner product를 통해 norm 정의 가능

 

3.2 Inner products

  - Dot product만이 inner product가 아님

  - Symmetric, Positive definite 만족해야 함

  - Inner product를 통해 symmetric, positive definite matrix A 정의 가능

    - Null space of A consist only 0

    - Diagonal element of A > 0

 

3.3 Lengths and Distances

  - Inner product를 통해 정의 가능

  - Norm의 조건 3개 만족해야 함

 

3.4 Angles and Orthogonality

  - Cauchy-Schwarz inequality 이용해서 angle 정의

  - Inner product = 0인 경우 orthogonality, perpendicular의 일반화

  - Orthogonal matrix도 정의 가능한데, 이게 rotation

 

3.5 Orthonormal basis

  - Orthonormal = Orthogonal + normal

  - Non-orthogonal, unnormalized basis들을 orthonormal basis로 만들 수 있을까?

    - Concatenate basis -> Augmented matrix -> Apply Gaussian elimination

    - "Gram-Schmidt process"

 

3.6 Orthogonal Complement

  - 이제는 vector space끼리 orthogonal한가?

  - Orthogonal Complement 정의, 특징

 

3.7 Inner Product of Functions

  - 이전에는 inner product의 특성으로 length, distance, angle 구했으면, 이번에는 function으로 확장

  - Orthogonal function 확인, Fourier series와도 연관지을 수 있음

 

3.8 Orthogonal Projections

  - Projection의 정의

  - Projection onto

    - 1-dim subspace(line)

      - 수선이 orthogonal함을 이용해서 length 구함

      - Inner product 통해 angle 구함

      - Projection matrix까지 구할 수 있음

    - General subspace

      - Pseudo-inverse of [basis] 통해 위 과정 시작

    - Affine space

      - 먼저 subspace로 projection, 이후 add support point

  - Gram-Schmidt Orthogonalization

    - Any n-dim basis to orthogonal/orthonormal basis

 

3.9 Rotations

  - Rotation on 2-dim, 3-dim, n-dim

  - Preserve distance, angle

  - 3-dim 이상에서 x commute